Contoh Soal OSN Matematika SMP

Tuliskan x = 6a dan y = 6b dengan FPB(a,b) = 1. Karena KPK(x,y) = 6ab = 180, diperoleh ab = 30 = 2 × 3 × 5. Setiap faktor prima dapat ditempatkan pada a atau b, sehingga ada 2^3 = 8 pasangan terurut.

Langkah 1: Tentukan nilai $P_3$.

Panjang seluruh ruas: $\dfrac{5}{9}-\dfrac{3}{7}=\dfrac{35-27}{63}=\dfrac{8}{63}$.

Karena ruas dibagi 5 bagian sama panjang, $P_3$ berada $\dfrac{3}{5}$ bagian dari ujung kiri: $P_3=\frac{3}{7}+\frac{3}{5}\cdot\frac{8}{63}=\frac{3}{7}+\frac{8}{105}=\frac{45}{105}+\frac{8}{105}=\frac{53}{105}.$

Langkah 2: Ubah $\dfrac{53}{105}$ ke bentuk desimal.

$\frac{53}{105}-\frac12=\frac{106-105}{210}=\frac{1}{210}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{21}.$

Karena $\dfrac{1}{21}=0{,}\overline{047619}$ (periode 6, sebab $10^6-1=999999=21\cdot 47619$), maka $\frac{53}{105}=0{,}5+0{,}0\overline{047619}=0{,}5\overline{047619}=0{,}504761904761\ldots$

Langkah 3: Cari angka ke-2026.

Angka ke-1 adalah $5$ (bagian tak berulang). Mulai angka ke-2, blok $047619$ berulang dengan periode 6.

Untuk posisi $n=2026$: $n-2=2024$ dan $2024=6\cdot 337+2$, jadi sisa $2$.

Sisa 0 → 0, sisa 1 → 4, sisa 2 → 7, sisa 3 → 6, sisa 4 → 1, sisa 5 → 9.

Jadi angka pada tempat desimal ke-2026 adalah $\boxed{7}$.

Membaca diagram. Lingkaran $A$ memuat $2,2,3$ (daerah khusus $A$) dan $2,3,5$ (irisan), sehingga $A = (2\cdot 2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3\cdot 5) = 2^3\cdot 3^2\cdot 5 = 360.$ Lingkaran $B$ memuat $2,3,5$ (irisan) dan $5,7$ (daerah khusus $B$), sehingga $B = (2\cdot 3\cdot 5)\cdot(5\cdot 7) = 2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7 = 1050.$

FPB dan KPK. Irisan memberi $\mathrm{FPB}(A,B) = 2\cdot 3\cdot 5 = 30$, dan seluruh bilangan pada diagram memberi $\mathrm{KPK}(A,B) = 2^3\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7 = 12600.$

Menghitung banyaknya $n$ pada syarat 1 dan 2. Tulis $n = 2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d$. Karena $n \mid 12600$ dan $30 \mid n$: $1 \le a \le 3,\quad 1 \le b \le 2,\quad 1 \le c \le 2,\quad 0 \le d \le 1.$ Banyaknya: $3\times 2\times 2\times 2 = 24$.

Mengurangi yang merupakan faktor $A = 2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Agar $n \mid A$ diperlukan $d = 0$ dan $c \le 1$, jadi $c = 1$, sedangkan $a\in\{1,2,3\}$ dan $b\in\{1,2\}$. Banyaknya: $3\times 2\times 1\times 1 = 6$.

Hasil akhir. $24 - 6 = 18.$ Jadi terdapat $\boxed{18}$ bilangan yang memenuhi.

Langkah 1 — Beri nama kedua akar. Misalkan $a=\sqrt{9+4\sqrt5}$ dan $b=\sqrt{9-4\sqrt5}$, sehingga $x=a-b$. Perhatikan bahwa $9-4\sqrt5>0$ (karena $4\sqrt5=\sqrt{80}<9$), jadi kedua akar terdefinisi dan $a>b>0$.

Langkah 2 — Hitung $a^2+b^2$ dan $ab$. $a^2+b^2=(9+4\sqrt5)+(9-4\sqrt5)=18$ $ab=\sqrt{(9+4\sqrt5)(9-4\sqrt5)}=\sqrt{9^2-(4\sqrt5)^2}=\sqrt{81-80}=1$

Langkah 3 — Gunakan identitas kuadrat (jangan lupa suku $-2ab$). $x^2=(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=18-2(1)=16$ Karena $a>b$ maka $x>0$, sehingga $x=4$.

(Cek dengan penyederhanaan akar berlapis: $9+4\sqrt5=(2+\sqrt5)^2$ dan $9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2$, jadi $x=(2+\sqrt5)-(\sqrt5-2)=4$.)

Langkah 4 — Hitung $x^x$. $x^{x}=4^{4}=256$

Jawaban: $256$.

Kesalahan umum: (1) lupa suku $-2ab$ sehingga diperoleh $x=\sqrt{18}=3\sqrt2$; (2) salah tanda sehingga yang dihitung $a+b=2\sqrt5$ karena $(a+b)^2=18+2=20$; (3) berhenti pada $x^2=16$ dan menjawab $16$.

Langkah 1 — Data banyak batang tiap pola. Dari gambar: $U_1=4$, $U_2=10$, $U_3=18$. Untuk pola ke-4 (tinggi kolom $1,2,3,4$) diperoleh $U_4=28$.

Langkah 2 — Cari rumus pola. Selisih pertama: $10-4=6$, $18-10=8$, $28-18=10$. Selisih kedua selalu $2$, jadi barisan ini kuadrat: $U_n=an^2+bn+c$ dengan $a=\tfrac{2}{2}=1$. Substitusi $n=1$ dan $n=2$: $1+b+c=4,\qquad 4+2b+c=10$ Diperoleh $b=3$ dan $c=0$, sehingga $U_n=n^2+3n=n(n+3).$ Cek: $U_1=1\cdot4=4$, $U_2=2\cdot5=10$, $U_3=3\cdot6=18$ (sesuai).

Verifikasi struktur: banyak batang horizontal $= n+\dfrac{n(n+1)}{2}$ dan (karena tangga simetris terhadap diagonal) banyak batang vertikal juga $= n+\dfrac{n(n+1)}{2}$, sehingga totalnya $2n+n(n+1)=n(n+3)$.

Langkah 3 — Selesaikan $U_n=550$. $n^2+3n=550 \Longrightarrow n^2+3n-550=0 \Longrightarrow (n-22)(n+25)=0$ Karena $n$ bilangan asli, maka $n=22$.

Cek: $22\cdot(22+3)=22\cdot25=550$ batang. ✓

Jadi pola yang memerlukan tepat $550$ batang korek api adalah pola ke-22.

Konsep: dua roda gigi yang bertautan memindahkan gigi dalam jumlah sama, sehingga banyak putaran berbanding terbalik dengan banyak gigi: $n_1 \times g_1 = n_2 \times g_2 .$ Dua roda gigi yang seporos mempunyai banyak putaran yang sama.

Langkah 1 — dari $A$ ke $B$ (bertautan): $n_A \cdot g_A = n_B \cdot g_B \Rightarrow 180 \times 24 = n_B \times 36$ $n_B = \frac{4320}{36} = 120 \text{ putaran/menit}$

Langkah 2 — dari $B$ ke $C$ (seporos): $n_C = n_B = 120 \text{ putaran/menit}$

Langkah 3 — dari $C$ ke $D$ (bertautan): $n_C \cdot g_C = n_D \cdot g_D \Rightarrow 120 \times 18 = n_D \times 27$ $n_D = \frac{2160}{27} = 80 \text{ putaran/menit}$

Cara cepat (rantai perbandingan): $n_D = 180 \times \frac{g_A}{g_B} \times \frac{g_C}{g_D} = 180 \times \frac{24}{36} \times \frac{18}{27} = 180 \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = 80.$

Jadi roda gigi $D$ berputar $80$ putaran setiap menit.

Langkah 1 — Kenali bentuk binomialnya. $\overline{14641}_{(b)} = b^4 + 4b^3 + 6b^2 + 4b + 1 = (b+1)^4 .$ (Digit terbesarnya 6, sehingga syarat basis $b \ge 7$ memang terpenuhi.)

Langkah 2 — Ubah syarat keterbagian menjadi syarat pada $b+1$. Kita perlu $32 = 2^5$ membagi $(b+1)^4$. Tulis $b+1 = 2^a \cdot m$ dengan $m$ ganjil dan $a \ge 0$. Maka $(b+1)^4 = 2^{4a} \cdot m^4 .$ Karena $m^4$ ganjil, pangkat 2 pada $(b+1)^4$ tepat $4a$. Jadi syaratnya $4a \ge 5 \iff a \ge \tfrac{5}{4} \iff a \ge 2 .$

Langkah 3 — Terjemahkan kembali. $a \ge 2$ berarti $4 \mid (b+1)$, yaitu $b \equiv 3 \pmod 4 .$ (Perhatikan: $b$ ganjil saja belum cukup. Contoh $b = 9$: $(9+1)^4 = 10000$, dan $10000 : 32 = 312{,}5$, tidak habis dibagi. Sedangkan $b = 7$: $8^4 = 4096 = 32 \cdot 128$, habis dibagi.)

Langkah 4 — Menghitung banyaknya $b$. Nilai $b$ pada $7 \le b \le 200$ dengan $b \equiv 3 \pmod 4$ adalah $7, 11, 15, \ldots, 199 .$ Barisan aritmetika dengan beda $4$: $n = \frac{199 - 7}{4} + 1 = \frac{192}{4} + 1 = 48 + 1 = 49 .$

Jadi banyaknya basis $b$ yang memenuhi adalah $49$.

• Digit satuan hasil 2183 adalah 3. Karena digit satuan berasal dari $7\times B$, maka $7\times B \equiv 3 \pmod{10}$. Satu-satunya digit $B$ yang memenuhi adalah $B=9$ (karena $7\times 9=63$).

• Maka bilangan kedua adalah 59. Karena hasil kali adalah 2183, kita cari $A$ sehingga $(10A+7)\times 59=2183$.

• Hitung: $2183\div 59=37$, sehingga $10A+7=37 \Rightarrow A=3$.

• Jadi $A=3$ dan $B=9$, sehingga $A+B=3+9=12$.

Langkah 1: Menyusun persamaan dari seluruh daerah diagram Venn.

Jumlah semua daerah (termasuk daerah di luar ketiga lingkaran) sama dengan banyak seluruh siswa, yaitu $98$: $3x + (2x+5) + (x+8) + x + (x-2) + 4 + 3 + 8 = 98$

Langkah 2: Menyederhanakan.

Suku $x$: $3x + 2x + x + x + x = 8x$. Suku konstanta: $5 + 8 - 2 + 4 + 3 + 8 = 26$.

Jadi $8x + 26 = 98 \;\Longrightarrow\; 8x = 72 \;\Longrightarrow\; x = 9$

Langkah 3: Menghitung banyak siswa pada tiap daerah irisan.

• Hanya $M$ dan $F$: $x = 9$
• Hanya $F$ dan $K$: $x - 2 = 7$
• Hanya $M$ dan $K$: $4$
• Ketiganya: $3$

(Periksa: hanya $M = 27$, hanya $F = 23$, hanya $K = 17$, sehingga $27+23+17+9+7+4+3+8 = 98$ ✔)

Langkah 4: Menghitung "paling sedikit dua".

"Paling sedikit dua" berarti tepat dua atau ketiganya: $9 + 7 + 4 + 3 = 23$

Jadi banyak siswa yang menyukai paling sedikit dua mata pelajaran adalah $\boxed{23}$ siswa.

Catatan kesalahan umum: jika hanya menjumlahkan daerah "tepat dua" ($9+7+4=20$) berarti siswa yang menyukai ketiganya terlewat; sedangkan menjumlahkan $n(M\cap F) + n(F\cap K) + n(M\cap K) = 12+10+7 = 29$ menghitung daerah tengah tiga kali.

Langkah 1: Baca fungsi dari diagram panah

$f(1)=3$, $f(2)=5$, $f(3)=4$, $f(4)=3$, $f(5)=1$.

Perhatikan bahwa $3$ dan $4$ saling bertukar: $f(3)=4$ dan $f(4)=3$, sehingga terjadi siklus berperiode $2$.

Langkah 2: Hitung $f^{2026}(2)$

$f^{1}(2)=5$ $f^{2}(2)=f(5)=1$ $f^{3}(2)=f(1)=3$ $f^{4}(2)=f(3)=4$ $f^{5}(2)=f(4)=3$ $f^{6}(2)=f(3)=4$

Jadi untuk $n \geq 3$: bila $n$ ganjil hasilnya $3$, bila $n$ genap hasilnya $4$. Karena $2026$ genap, maka $f^{2026}(2)=4$.

Langkah 3: Hitung $f^{2025}(1)$

$f^{1}(1)=3$ $f^{2}(1)=f(3)=4$ $f^{3}(1)=f(4)=3$ $f^{4}(1)=f(3)=4$

Jadi untuk $n$ ganjil hasilnya $3$, untuk $n$ genap hasilnya $4$. Karena $2025$ ganjil, maka $f^{2025}(1)=3$.

Langkah 4: Jumlahkan

$f^{2026}(2) + f^{2025}(1) = 4 + 3 = 7$

Kunci: 7

Catatan kesalahan umum: menyamakan pola paritas kedua suku (memperoleh $3+3=6$ atau $4+4=8$) karena lupa bahwa lintasan dari $2$ membutuhkan dua langkah tambahan sebelum masuk siklus $3 \leftrightarrow 4$.

Misalkan harga produksi $= x$.

1) Produsen $\to$ Grosir (untung $20\%$): $\text{harga beli grosir} = 1{,}20x$

2) Grosir $\to$ Pengecer (untung $25\%$ dari harga beli grosir): $\text{harga beli pengecer} = 1{,}25 \times 1{,}20x = 1{,}50x$

3) Harga label pengecer ($50\%$ di atas harga belinya): $\text{harga label} = 1{,}50 \times 1{,}50x = 2{,}25x$

4) Harga yang dibayar konsumen (untung pengecer $20\%$ dari harga beli): $\text{harga jual} = 1{,}20 \times 1{,}50x = 1{,}80x$

Karena konsumen membayar Rp405.000: $1{,}80x = 405.000 \;\Rightarrow\; x = 225.000$

5) Besar diskon (selalu dihitung terhadap harga label): $\text{harga label} = 2{,}25 \times 225.000 = 506.250$ $\text{diskon} = 506.250 - 405.000 = 101.250$ $d = \frac{101.250}{506.250} \times 100\% = \frac{0{,}45x}{2{,}25x} \times 100\% = 20\%$

Jadi harga produksi Rp225.000 dan diskonnya $20\%$.

Catatan kesalahan umum: menghitung diskon terhadap harga bayar ($\frac{101.250}{405.000}=25\%$), melewatkan satu tahap keuntungan ($405.000:1{,}44 = 281.250$ atau $405.000:1{,}5=270.000$), serta mengira diskon menutup seluruh margin label ($\frac{0{,}75}{2{,}25}=33\tfrac{1}{3}\%$).

Langkah 1: Menentukan sistem pertidaksamaan daerah $D$.

• Garis $OB$ melalui $(0,0)$ dan $(2,4)$, gradiennya $m=\frac{4-0}{2-0}=2$, sehingga persamaannya $y = 2x$. Daerah $D$ berada di kanan garis ini (uji titik $(3,1)$: $1 \le 2\cdot 3$ benar), jadi $y \le 2x$.
• Garis $AB$ melalui $(6,0)$ dan $(2,4)$, gradiennya $m=\frac{4-0}{2-6}=-1$, sehingga $y = -(x-6)$ atau $x+y = 6$. Daerah $D$ di bawah garis ini, jadi $x + y \le 6$.
• Sisi $OA$ terletak pada sumbu $X$, jadi $y \ge 0$.

Sistem: $y \ge 0$, $y \le 2x$, dan $x + y \le 6$.

Langkah 2: Menghitung titik bulat baris per baris (untuk setiap $y$).

Dari $y \le 2x$ diperoleh $x \ge \frac{y}{2}$, dan dari $x+y \le 6$ diperoleh $x \le 6-y$. Karena $y \ge 0$ dan $\frac{y}{2} \le 6-y \Rightarrow y \le 4$, maka $y = 0,1,2,3,4$.

• $y=0$: $0 \le x \le 6 \Rightarrow x=0,1,\dots,6$ → $7$ titik
• $y=1$: $0{,}5 \le x \le 5 \Rightarrow x=1,\dots,5$ → $5$ titik
• $y=2$: $1 \le x \le 4 \Rightarrow x=1,2,3,4$ → $4$ titik
• $y=3$: $1{,}5 \le x \le 3 \Rightarrow x=2,3$ → $2$ titik
• $y=4$: $2 \le x \le 2 \Rightarrow x=2$ → $1$ titik

Total $= 7+5+4+2+1 = 19$ titik.

Langkah 3: Pemeriksaan dengan Teorema Pick.

Luas segitiga $= \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4 = 12$. Titik bulat pada batas: $OA$ memuat $7$ titik, $AB$ memuat $\gcd(4,4)+1 = 5$ titik, $OB$ memuat $\gcd(2,4)+1 = 3$ titik; karena $3$ titik sudut terhitung dua kali, $B = 7+5+3-3 = 12$. Dengan $L = I + \frac{B}{2} - 1$ diperoleh $I = 12 - 6 + 1 = 7$, sehingga jumlah seluruh titik bulat $= I + B = 7 + 12 = \mathbf{19}$ (sesuai).

Jawaban: 19.

Langkah 1: Menentukan rumus $f(x)$ dari grafik.

Karena titik puncaknya $P(2,-9)$, bentuk puncak fungsi tersebut adalah $f(x) = a(x-2)^2 - 9 .$

Grafik melalui $(0,-5)$, sehingga $a(0-2)^2 - 9 = -5 \Longrightarrow 4a = 4 \Longrightarrow a = 1 .$

Jadi $f(x) = (x-2)^2 - 9 = x^2 - 4x - 5 .$

(Konsisten dengan grafik: parabola terbuka ke atas karena $a = 1 > 0$.)

Langkah 2: Menyelesaikan pertidaksamaan $f(x) \le 11$. $x^2 - 4x - 5 \le 11 \Longrightarrow x^2 - 4x - 16 \le 0 .$

Akar-akar dari $x^2 - 4x - 16 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5} .$

Karena koefisien $x^2$ positif, penyelesaiannya adalah $2 - 2\sqrt{5} \le x \le 2 + 2\sqrt{5} .$

Langkah 3: Menghitung bilangan bulat pada interval.

Dengan $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ maka $2\sqrt{5} \approx 4{,}472$, sehingga $-2{,}472 \le x \le 6{,}472 .$

Bilangan bulat yang memenuhi: $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ — sebanyak $\boxed{9}$ bilangan.

Cek batas: $f(-2) = 4 + 8 - 5 = 7 \le 11$ (memenuhi), $f(-3) = 9 + 12 - 5 = 16 > 11$ (tidak memenuhi); $f(6) = 36 - 24 - 5 = 7 \le 11$ (memenuhi), $f(7) = 49 - 28 - 5 = 16 > 11$ (tidak memenuhi). Jadi jawabannya 9.

Langkah 1: Menyusun persamaan kedua garis.

Garis $\ell_1$ memotong sumbu-$X$ di $(6,0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0,4)$, sehingga $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1 \iff 2x+3y=12 .$

Garis $\ell_2$ melalui $(1,0)$ dan $(0,-1)$, gradiennya $m=\dfrac{-1-0}{0-1}=1$, sehingga $y=x-1 \iff x-y=1 .$

Langkah 2: Menentukan titik potong $P$ (SPLDV).

Substitusi $x=y+1$ ke $2x+3y=12$: $2(y+1)+3y=12 \Rightarrow 5y=10 \Rightarrow y=2$, sehingga $x=3$. Jadi $P(3,2)$. (Cek: $2(3)+3(2)=12$ ✓; $3-2=1$ ✓.)

Langkah 3: Luas segi empat $OAPB$, $O(0,0)$, $A(1,0)$, $P(3,2)$, $B(0,4)$.

Bagi oleh diagonal $OP$:

• $\triangle OAP$: alas $OA=1$ pada sumbu-$X$, tinggi $y_P=2 \Rightarrow L_1=\tfrac12\cdot1\cdot2=1$.
• $\triangle OBP$: alas $OB=4$ pada sumbu-$Y$, tinggi $x_P=3 \Rightarrow L_2=\tfrac12\cdot4\cdot3=6$.

$L_D=1+6=7$

Cek dengan shoelace $O(0,0),A(1,0),P(3,2),B(0,4)$: $L=\tfrac12\left|(1\cdot2-3\cdot0)+(3\cdot4-0\cdot2)\right|=\tfrac12(2+12)=7 .$

Analisis pengecoh: $\tfrac{15}{2}$ muncul jika yang dihitung segitiga berbatas $\ell_1$, $\ell_2$, dan sumbu-$Y$ (titik $(0,4)$, $(0,-1)$, $P$); $5$ muncul jika yang dihitung segitiga berbatas $\ell_1$, $\ell_2$, dan sumbu-$X$; $12$ adalah luas seluruh $\triangle$ berbatas $\ell_1$ dan kedua sumbu, yaitu $\tfrac12\cdot6\cdot4$.

Jadi luas daerah $D$ adalah $7$ satuan luas.

Misalkan massa satu kubus $= x$ kg, satu bola $= y$ kg, dan satu silinder $= z$ kg.

Menerjemahkan gambar menjadi SPLTV

• Timbangan I: $2x + 3y = 2z + 8 \Rightarrow 2x + 3y - 2z = 8$ … (1)
• Timbangan II: $x + y + z = 19$ … (2)
• Timbangan III: $3x + 3 = y + z \Rightarrow 3x - y - z = -3$ … (3)

Langkah 1: eliminasi $y$ dan $z$ sekaligus

Jumlahkan (2) dan (3): $(x + y + z) + (3x - y - z) = 19 + (-3)$ $4x = 16 \Rightarrow x = 4$

Langkah 2: substitusi $x = 4$

Dari (2): $y + z = 19 - 4 = 15$ … (4)

Dari (1): $2(4) + 3y - 2z = 8 \Rightarrow 3y - 2z = 0 \Rightarrow 3y = 2z$ … (5)

Langkah 3: selesaikan (4) dan (5)

Dari (5): $y = \dfrac{2z}{3}$. Substitusi ke (4): $\frac{2z}{3} + z = 15 \Rightarrow \frac{5z}{3} = 15 \Rightarrow z = 9$ Maka $y = 15 - 9 = 6$.

Jadi $x = 4$, $y = 6$, $z = 9$ (cek Timbangan I: $8 + 18 = 26 = 18 + 8$ ✓).

Langkah 4: hitung yang ditanyakan $3y + z = 3(6) + 9 = 18 + 9 = 27$

Massa $3$ bola dan $1$ silinder adalah $\boxed{27}$ kg.