Contoh Soal TKA Matematika SMA

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{p}{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dan $q \neq 0$. Bilangan desimal yang berulang atau berhenti juga termasuk bilangan rasional.

Mari kita identifikasi setiap anggota himpunan $S = \{\sqrt{4}, \sqrt[3]{8}, \frac{22}{7}, \pi, 0.121212...\}$:

• $\sqrt{4} = 2$. Ini adalah bilangan bulat, yang dapat ditulis sebagai $\frac{2}{1}$. Jadi, ini rasional.
• $\sqrt[3]{8} = 2$. Ini juga bilangan bulat, yang dapat ditulis sebagai $\frac{2}{1}$. Jadi, ini rasional.
• $\frac{22}{7}$ sudah dalam bentuk pecahan $\frac{p}{q}$. Jadi, ini rasional.
• $\pi$ adalah bilangan irasional. Desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang.
• $0.121212...$ adalah desimal berulang. Bilangan ini dapat diubah menjadi pecahan $\frac{12}{99}$ atau $\frac{4}{33}$. Jadi, ini rasional.

Dengan demikian, ada 4 bilangan rasional dalam himpunan $S$, yaitu $\sqrt{4}, \sqrt[3]{8}, \frac{22}{7},$ dan $0.121212...$.

Untuk mengevaluasi ekspresi matematika, kita harus mengikuti aturan urutan operasi (PEMDAS/BODMAS):

• Perkalian dan pembagian dikerjakan terlebih dahulu dari kiri ke kanan.
• Penjumlahan dan pengurangan dikerjakan setelahnya, juga dari kiri ke kanan.

Evaluasi ekspresi:
$12 - 3 \times 2 + 8 \div 2$

1. Perkalian dan pembagian:
   $3 \times 2 = 6$,
   $8 \div 2 = 4$.
   Ekspresi menjadi: $12 - 6 + 4$.

2. Penjumlahan dan pengurangan (kiri ke kanan):
   $12 - 6 = 6$,
   $6 + 4 = 10$.

Hasil akhir yang benar adalah 10.

Analisis Pernyataan

• Pernyataan 1: Benar. Perkalian dan pembagian memang didahulukan sesuai aturan urutan operasi.
• Pernyataan 2: Benar. Jika dihitung lurus kiri ke kanan tanpa aturan prioritas:
  $12 - 3 = 9 \rightarrow 9 \times 2 = 18 \rightarrow 18 + 8 = 26 \rightarrow 26 \div 2 = 13$.
• Pernyataan 3: Benar. Hasil yang benar memang 10.
• Pernyataan 4: Salah. Hasilnya bukan 22.
• Pernyataan 5: Benar. Bentuk $(12 - (3 \times 2)) + (8 \div 2)$ secara eksplisit mencerminkan urutan operasi yang benar dan menghasilkan 10.

Dalam sistem persamaan linear dengan 3 variabel dan hanya 2 persamaan independen, derajat kebebasan sistem adalah:

Artinya, solusi sistem bergantung pada satu parameter bebas, sehingga membentuk garis lurus dalam ruang tiga dimensi.

Mengapa bukan yang lain?

• Titik tunggal: memerlukan 3 persamaan independen.
• Tidak ada solusi: terjadi jika ada kontradiksi (misalnya, dua persamaan yang sejajar tapi tidak berimpit).
• Bidang datar: merupakan solusi dari satu persamaan linear dalam 3 variabel.
• Lingkaran: bukan bentuk solusi sistem persamaan linear.

Jadi, bentuk solusi yang tepat adalah garis lurus.

Mari kita analisis setiap pernyataan berdasarkan sistem pertidaksamaan yang diberikan:

• Nilai maksimum $z$ adalah 5. (Benar) Untuk memaksimalkan $z$ dalam $x + y + z \leq 10$, kita harus menggunakan nilai minimum untuk $x$ dan $y$. Nilai minimum yang diizinkan adalah $x=2$ dan $y=3$. Substitusi menghasilkan $2 + 3 + z \leq 10$, yang menyederhanakan menjadi $z \leq 5$. Jadi, nilai maksimum $z$ adalah 5.

• Titik $(0,3,7)$ tidak memenuhi sistem. (Pernyataan Salah) Titik ini tidak memenuhi syarat $x \geq 2$ karena komponen $x$-nya adalah 0.

• Jika $x=2$ dan $y=3$, maka $0 \leq z \leq 5$. (Benar) Dengan mensubstitusikan $x=2$ dan $y=3$ ke dalam $x+y+z \leq 10$, kita mendapatkan $z \leq 5$. Dikombinasikan dengan syarat $z \geq 0$, rentang nilai $z$ yang valid adalah $0 \leq z \leq 5$.

• Sistem ini memiliki solusi. (Pernyataan Salah) Sistem ini memiliki banyak solusi. Sebagai contoh, titik $(2, 3, 0)$ memenuhi semua ketidaksetaraan: $2+3+0=5 \leq 10$, $2 \geq 2$, $3 \geq 3$, dan $0 \geq 0$. Adanya banyak batasan tidak secara otomatis berarti tidak ada solusi.

• Nilai maksimum dari minimum $z$ adalah 0. (Pernyataan Salah) Frasa "maksimum dari minimum" tidak relevan di sini. Pertidaksamaan $z \geq 0$ secara langsung menetapkan bahwa nilai minimum absolut untuk $z$ adalah 0. Tidak ada beberapa kemungkinan nilai minimum untuk dipilih.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan program linear.

Misalkan:

• $x$ = jumlah mobil
• $y$ = jumlah bus

1. Model Matematika Kita perlu memaksimalkan fungsi pendapatan dengan memperhatikan kendala yang ada.

• Fungsi Tujuan (Pendapatan): $f(x, y) = 5.000x + 15.000y$

• Kendala (Batasan):

  1. Daya tampung: $x + y \le 30$
  2. Luas lahan: $6x + 24y \le 360$, yang dapat disederhanakan menjadi $x + 4y \le 60$
  3. Jumlah kendaraan tidak boleh negatif: $x \ge 0$ dan $y \ge 0$

2. Menentukan Titik Pojok Nilai maksimum akan ditemukan pada salah satu titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh sistem pertidaksamaan di atas. Titik-titik pojoknya adalah:

• Perpotongan sumbu-x dan sumbu-y: $(0, 0)$
• Perpotongan garis $x+y=30$ dengan sumbu-x: $(30, 0)$
• Perpotongan garis $x+4y=60$ dengan sumbu-y: $(0, 15)$
• Perpotongan garis $x+y=30$ dan $x+4y=60$: $(20, 10)$

3. Menguji Titik Pojok pada Fungsi Tujuan

• $f(30, 0) = 5.000(30) + 15.000(0) = 150.000$
• $f(0, 15) = 5.000(0) + 15.000(15) = 225.000$
• $f(20, 10) = 5.000(20) + 15.000(10) = 100.000 + 150.000 = 250.000$

Kesimpulan Pendapatan maksimum sebesar Rp250.000,00 dicapai ketika tempat parkir diisi oleh 20 mobil dan 10 bus.

Untuk menentukan asimtot dari fungsi rasional $f(x) = \frac{3x^2 - 5x + 2}{-2x^2 + 8}$, kita bandingkan derajat (pangkat tertinggi) dari pembilang dan penyebut.

• Derajat pembilang: Pangkat tertinggi dari $(3x^2 - 5x + 2)$ adalah 2.
• Derajat penyebut: Pangkat tertinggi dari $(-2x^2 + 8)$ adalah 2.

Karena derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, maka fungsi memiliki asimtot horizontal. Persamaan asimtot horizontal didapat dari rasio koefisien utama (koefisien suku pangkat tertinggi) pembilang dan penyebut.

$y = \frac{\text{Koefisien utama pembilang}}{\text{Koefisien utama penyebut}} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$

Asimtot miring hanya ada jika derajat pembilang tepat satu lebih besar dari derajat penyebut. Karena derajatnya sama, fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

Jadi, fungsi ini memiliki asimtot horizontal $y = -\frac{3}{2}$ dan tidak memiliki asimtot miring.

Mari kita uji kebenaran dari setiap pernyataan.

Memeriksa Sifat Identitas Komposisi Invers

Opsi A: Berdasarkan sifat fungsi invers, $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ untuk setiap $x$ dalam domain $f$. Karena $x = 0$ ada dalam domain $f$, maka $(f^{-1} \circ f)(0) = 0$.

(Bukti: $f(0) = -2 \implies f^{-1}(-2) = 0$)

Pernyataan A BENAR.

Opsi B: Berdasarkan sifat fungsi invers, $f(f^{-1}(x)) = x$ untuk setiap $x$ dalam domain $f^{-1}$. Karena $x = 1$ ada dalam himpunan hasil $f$, maka $f(f^{-1}(1)) = 1$.

(Bukti: $f^{-1}(1) = -1 \implies f(-1) = 1$)

Pernyataan B BENAR.

Memeriksa Nilai $f^{-1}(2)$

Opsi C: Nilai $2$ adalah elemen domain $f$, bukan elemen hasil/kodomain $f$. Pada tabel, nilai $y = 2$ tidak ada di baris $f(x)$, sehingga $f^{-1}(2)$ tidak terdefinisi. Nilai yang benar adalah $f^{-1}(4) = 2$.

Pernyataan C SALAH.

Memeriksa Domain $f^{-1}$ dan Range $f$

Opsi D: Domain dari $f^{-1}$ sama dengan range dari $f$, yaitu kumpulan semua nilai $f(x)$ pada tabel: $\{5, 1, -2, 4\}$.

Pernyataan D BENAR.

Opsi E: Range dari $f$ adalah $\{5, 1, -2, 4\}$, sedangkan $\{-3, -1, 0, 2\}$ adalah domain dari $f$.

Pernyataan E SALAH.

Jadi, pernyataan A, B, dan D bernilai BENAR.

Untuk menentukan rumus spesifik dari fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, kita memerlukan bentuk atau rumus eksplisit dari kedua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$.

Uji Pernyataan (1): $f(x) = 2x + 1$

Pernyataan ini memberikan rumus untuk fungsi $f(x)$, sehingga $(f \circ g)(x) = 2g(x) + 1$. Namun, karena rumus fungsi $g(x)$ tidak diketahui, rumus eksplisit dari $(f \circ g)(x)$ tidak dapat ditentukan.

Pernyataan (1) saja TIDAK CUKUP.

Uji Pernyataan (2): $g$ merupakan fungsi satu-satu

Sifat "satu-satu" (injektif) hanya menjelaskan karakteristik pemetaan fungsi $g$ (bahwa setiap elemen kodomain dipetakan oleh paling banyak satu elemen domain). Pernyataan ini tidak memberikan rumus aljabar maupun nilai dari fungsi $g(x)$ dan $f(x)$.

Pernyataan (2) saja TIDAK CUKUP.

Uji Gabungan Pernyataan (1) dan (2):

Bahkan jika kedua pernyataan digabungkan, kita hanya tahu bahwa $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x)$ adalah fungsi injektif. Tanpa adanya rumus eksplisit atau informasi titik spesifik dari $g(x)$ (seperti $g(x) = x^3$ atau $g(x) = 3x - 4$), bentuk $(f \circ g)(x)$ tetap tidak dapat ditentukan secara pasti.

Pernyataan (1) dan (2) bersama-sama TETAP TIDAK CUKUP.

Kesimpulan:

Kedua pernyataan bersama-sama tetap tidak cukup untuk menentukan rumus $(f \circ g)(x)$.

Jawaban: E

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih atau beda ($b$) yang konstan antara dua suku berurutan.

Mari kita analisis setiap pilihan:

• 1, 4, 7, 10, … Beda: $4 - 1 = 3$; $7 - 4 = 3$. Bedanya konstan ($b=3$), maka ini adalah barisan aritmetika.

• 1, 2, 4, 8, … Beda: $2 - 1 = 1$; $4 - 2 = 2$. Bedanya tidak konstan, maka ini bukan barisan aritmetika (ini adalah barisan geometri).

• 10, 5, 0, -5, … Beda: $5 - 10 = -5$; $0 - 5 = -5$. Bedanya konstan ($b=-5$), maka ini adalah barisan aritmetika.

• $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ Beda: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. Bedanya tidak konstan, maka ini bukan barisan aritmetika (ini adalah barisan geometri).

• $a, a+2, a+4, \dots$ Beda: $(a+2) - a = 2$; $(a+4) - (a+2) = 2$. Bedanya konstan ($b=2$), maka ini adalah barisan aritmetika.

Dengan demikian, barisan yang merupakan barisan aritmetika adalah 1, 4, 7, 10, …, 10, 5, 0, -5, …, dan $a, a+2, a+4, \dots$.

Untuk menganalisis pernyataan, pertama kita tentukan nilai rasio ($r$) dari deret tersebut.

Menentukan Rasio (r)

Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$. Diketahui $S_{\infty} = 4a$, maka: $4a = \frac{a}{1-r}$ Karena $a \ne 0$, kita dapat membagi kedua ruas dengan $a$: $4 = \frac{1}{1-r} \implies 4(1-r) = 1 \implies 4r = 3$ $r = \frac{3}{4}$

Analisis Pernyataan

Berdasarkan nilai $r = \frac{3}{4}$, kita dapat mengevaluasi setiap pernyataan.

• "Nilai rasio $r$ dari deret tersebut adalah $\frac{3}{4}$​" Pernyataan ini benar, sesuai dengan hasil perhitungan di atas.

• "Deret geometri tersebut bersifat divergen" Pernyataan ini salah. Suatu deret geometri tak hingga konvergen jika $|r| < 1$. Karena $|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1$, deret ini bersifat konvergen.

• "Suku kedua deret tersebut adalah $\frac{3}{4}a$" Pernyataan ini benar. Suku kedua dirumuskan sebagai $U_2 = ar$. Dengan $r = \frac{3}{4}$, maka $U_2 = a(\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}a$.

• "Suku ke-3 nilainya lebih kecil dibandingkan suku ke-2 jika a>0" Pernyataan ini benar.

  • $U_2 = ar = \frac{3}{4}a = \frac{12}{16}a$
  • $U_3 = ar^2 = a(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}a$ Jika $a > 0$, maka $\frac{9}{16}a < \frac{12}{16}a$, yang berarti $U_3 < U_2$.

• "Suku ke-3 nilainya lebih besar dibandingkan suku ke-2 jika a>0" Pernyataan ini salah, karena telah dibuktikan bahwa $U_3 < U_2$.

Sudut antara dua garis di ruang ditentukan oleh vektor arah masing-masing garis.

Vektor arah garis $l$: $\vec{u} = (1, 2, 2)$

Vektor arah garis $m$: $\vec{v} = (2, -1, 2)$

Hasil kali titik (dot product) $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(2) = 2 - 2 + 4 = 4$

Panjang masing-masing vektor $|\vec{u}|$ dan $|\vec{v}|$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Cosinus sudut antarvektor ($\cos\theta$): $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Jadi, jawaban soal ini adalah C.

Analisis kebenaran setiap pilihan:

Opsi A (Benar): $AG$ adalah rusuk tegak vertikal di titik $A$, sedangkan $BC$ adalah rusuk alas horizontal. Kedua garis tidak sejajar, tidak berpotongan, dan tidak sebidang, sehingga bersilangan.

Opsi B (Benar): Karena berbentuk prisma tegak, setiap sisi tegaknya ($ABHG$, $BCIH$, dll.) tegak lurus terhadap bidang alas dan berbentuk persegi panjang berukuran $4 \times 10$.

Opsi C (Benar): $AD$ adalah diagonal utama pada bidang alas dan $GJ$ adalah diagonal utama pada bidang atas. Karena $AD \parallel GJ$, jarak kedua garis sejajar ini sama dengan jarak antara bidang alas dan bidang atas, yaitu tinggi prisma ($10$).

Opsi D (Benar): Sesuai sifat prisma tegak, semua bidang sisi tegaknya (termasuk $ABHG$) tegak lurus terhadap bidang alas.

Jadi, semua pernyataan benar.

Karena $\triangle ABC \cong \triangle PQR$, sisi-sisi yang bersesuaian di depan/di samping sudut yang sama harus sama panjang. Sisi $BC$ bersesuaian dengan $QR$: $BC = QR \implies 3y - 2 = y + 10 \implies 2y = 12 \implies y = 6$ Panjang $BC = 3(6) - 2 = 16\text{ cm}$.

b) Keliling $\triangle ABC = AC + BC + AB = 34\text{ cm}$: $8 + 16 + AB = 34 \implies AB = 10\text{ cm}$ Karena $\triangle ABC \cong \triangle PQR$, maka $PQ = AB = 10\text{ cm}$.

Rumus Euclid akan menghasilkan Tripel Pythagoras Primitif (tiga bilangan $a, b, c$ yang tidak memiliki faktor persekutuan selain 1) jika pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ dengan $m > n$ memenuhi dua syarat tambahan:

1. $m$ dan $n$ saling prima (FPB = 1).
2. Salah satu dari $m$ atau $n$ adalah bilangan genap dan yang lainnya ganjil.

Mari kita periksa setiap pasangan:

• ($m=2, n=1$): Memenuhi semua syarat (saling prima, paritas berbeda). Menghasilkan tripel primitif (3, 4, 5).
• ($m=3, n=2$): Memenuhi semua syarat (saling prima, paritas berbeda). Menghasilkan tripel primitif (5, 12, 13).
• ($m=4, n=2$): Tidak memenuhi. $m$ dan $n$ tidak saling prima (FPB=2) dan keduanya genap. Tripel yang dihasilkan (12, 16, 20) bukan primitif.
• ($m=4, n=1$): Memenuhi semua syarat (saling prima, paritas berbeda). Menghasilkan tripel primitif (15, 8, 17).
• ($m=5, n=3$): Tidak memenuhi. $m$ dan $n$ keduanya ganjil. Tripel yang dihasilkan (16, 30, 34) bukan primitif.

Jadi, pasangan yang menghasilkan Tripel Pythagoras Primitif adalah $(2,1)$, $(3,2)$, dan $(4,1)$.

Refleksi titik $(x, y)$ terhadap garis $y = -x$ menghasilkan bayangan $(-y, -x)$.

Translasi $P'(-5, 3)$ oleh $T = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$:

Garis berat ditarik dari suatu titik sudut segitiga ke titik tengah sisi di hadapannya, membagi segitiga menjadi dua bagian. Berikut penilaian setiap pernyataan:

• Luas sama besar: Benar. Kedua segitiga memiliki alas sama panjang (setengah sisi asli) dan tinggi yang sama (jarak tegak lurus dari titik sudut ke sisi tersebut), sehingga luasnya selalu sama: $L = \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi}$.

• Keliling sama besar: Salah. Sisi-sisi lain dari segitiga asal umumnya tidak sama panjang, sehingga keliling kedua bagian berbeda.

• Kongruen: Salah. Kedua segitiga hanya kongruen dalam kasus khusus (misalnya segitiga sama kaki atau sama sisi), bukan pada segitiga sembarang.

• Tinggi identik terhadap garis berat sebagai alas: Benar. Jika garis berat dijadikan alas bersama, maka tinggi kedua segitiga diukur dari titik tengah sisi ke titik sudut berlawanan—yang merupakan satu titik yang sama. Dengan demikian, tingginya identik.

• Membagi sudut sama besar: Salah. Garis berat bukan garis bagi; hanya pada segitiga simetris (misalnya sama kaki) ia sekaligus membagi sudut.

Saat sebuah juring lingkaran digulung menjadi selimut kerucut, properti juring akan bertransformasi menjadi properti kerucut sebagai berikut:

• Jari-jari juring ($R$) menjadi garis pelukis kerucut ($s$).
• Panjang busur juring menjadi keliling alas kerucut.

Mari kita analisis setiap pernyataan berdasarkan informasi ini.

1. Garis Pelukis ($s$)

Jari-jari juring ($R$) langsung menjadi garis pelukis kerucut ($s$), sehingga: $s = R$ Pernyataan ini benar.

2. Jari-Jari Alas Kerucut ($r$)

Panjang busur juring dihitung dan disamakan dengan keliling alas kerucut ($2\pi r$). Panjang Busur $= \frac{\text{Sudut Pusat}}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{2}{3} \times 2\pi R = \frac{4}{3}\pi R$

Karena Panjang Busur = Keliling Alas: $\frac{4}{3}\pi R = 2\pi r$ $r = \frac{2}{3}R$ Pernyataan ini benar.

3. Tinggi Kerucut ($t$)

Tinggi kerucut dapat ditemukan menggunakan teorema Pythagoras dengan $s=R$ dan $r=\frac{2}{3}R$. $s^2 = r^2 + t^2$ $R^2 = (\frac{2}{3}R)^2 + t^2$ $t^2 = R^2 - \frac{4}{9}R^2 = \frac{5}{9}R^2$ $t = \sqrt{\frac{5}{9}R^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}R$ atau $t = \frac{1}{3}R\sqrt{5}$ Pernyataan ini benar.

4. Luas Selimut Kerucut

Luas selimut kerucut sama dengan luas juring lingkaran asal. Luas Juring $= \frac{\text{Sudut Pusat}}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{2}{3}\pi R^2$ Pernyataan ini benar.

5. Volume Kerucut

Volume kerucut ($V = \frac{1}{3}\pi r^2 t$) bergantung pada nilai $r$ dan $t$. Karena $r$ dan $t$ bergantung pada sudut pusat juring, perubahan sudut akan mengubah volume kerucut. Jadi, volume tidak konstan. Pernyataan ini salah.

Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah pernyataan 1, 2, 3, dan 4.

Untuk menemukan jarak terpendek dari titik $F(0,1)$ ke kurva parabola $y = \frac{1}{4}x^2 + 2$, kita perlu meminimalkan fungsi jarak. Berikut adalah analisis untuk setiap opsi yang diberikan.

Langkah-langkah Analisis yang Valid

• Menyusun fungsi jarak: Kuadrat jarak, $d^2$, dari $F(0,1)$ ke sembarang titik $P(x,y)$ pada kurva adalah $d^2 = x^2 + (y-1)^2$. Dengan mensubstitusi $x^2 = 4y - 8$ (dari persamaan kurva), kita mendapatkan fungsi kuadrat jarak dalam satu variabel: $d^2(y) = (4y - 8) + (y-1)^2$. Ini memvalidasi opsi pertama.

• Menggunakan kalkulus untuk optimisasi: Untuk menemukan jarak minimum, kita mencari nilai stasioner dari fungsi kuadrat jarak dengan mengatur turunan pertamanya menjadi nol ($d/dx = 0$ atau $d/dy = 0$). Ini adalah metode standar optimisasi dalam kalkulus. Ini memvalidasi opsi kedua.

• Menggunakan sifat geometris: Jarak terpendek dari suatu titik ke kurva terletak pada garis yang normal (tegak lurus) terhadap kurva di titik terdekat. Artinya, garis normal pada kurva di titik terdekatnya harus melewati titik $F(0,1)$. Ini memvalidasi opsi kelima.

Hasil Analisis

• Dengan menerapkan salah satu metode di atas, kita menemukan bahwa titik pada kurva yang terdekat dengan $F(0,1)$ adalah $(0,2)$.
• Jarak minimumnya adalah jarak antara $(0,1)$ dan $(0,2)$, yaitu $\sqrt{(0-0)^2 + (2-1)^2} = 1$. Ini memvalidasi opsi keempat.

Analisis Opsi yang Tidak Valid

• Opsi ketiga salah karena menyatakan $F(0,1)$ adalah titik fokus. Parabola $y = \frac{1}{4}x^2 + 2$ (atau $x^2=4(y-2)$) memiliki titik puncak $(0,2)$ dan fokus di $(0,3)$. Karena premisnya salah, pernyataan tersebut tidak valid sebagai langkah analisis.

Segi-$n$ beraturan tersusun dari $n$ buah segitiga sama kaki kongruen dengan sudut pusat $\theta = \frac{360^\circ}{n}$.

Sudut pusat ($n = 8$):

$\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Luas 1 segitiga penyusun:

$L_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$

Luas total segi delapan beraturan:

$L = 8 \times L_{\triangle} = 8 \times 16\sqrt{2} = 128\sqrt{2} \text{ satuan luas}$.

Jadi, jawaban soal ini adalah C.

(1) benar: 300 → 280.
(2) salah: 2021 ke 2022 tetap (260).
(3) benar: 360 + 340 = 700.
(4) salah: rata-rata A = 1.380/5 = 276.
Jadi, jawaban soal ini adalah B.

otal nilai kelas A awal $= 30 \times 75 = 2.250$.
Total nilai kelas A tersisa (25 siswa) $= 25 \times 74 = 1.850$.
Total nilai 5 siswa yang pindah $= 2.250 - 1.850 = 400$.
Total nilai kelas B awal $= 20 \times 85 = 1.700$.
Total nilai kelas B baru (25 siswa) $= 1.700 + 400 = 2.100$.
Rata-rata kelas B baru $= \frac{2.100}{25} = 84$.
Jadi, jawaban soal ini adalah E.

Untuk menghitung P, kita memerlukan informasi total siswa laki-laki di kelas tersebut untuk dihitung menggunakan rumus $C(Laki, 3)$. Untuk menghitung Q, kita memerlukan informasi total siswa perempuan di kelas tersebut untuk dihitung menggunakan rumus $C(Perempuan, 3)$. Karena pada deskripsi informasi awal tidak disebutkan sama sekali berapa jumlah pasti populasi siswa laki-laki maupun perempuan, kita tidak bisa membandingkan nilai P dan Q.

Kesimpulan: Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memutuskan hubungan (Opsi D).

Peluang tidak lulus $= 1 - P(\text{Lulus}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$.
Perkiraan siswa tidak lulus $= 0{,}15 \times 200 = 30$ siswa.
Jadi, jawaban soal ini adalah B.

$P(M_I) = 0{,}60$, $P(M_{II}) = 0{,}40$. $P(\text{Cacat} \mid M_I) = 0{,}03 \implies P(\text{Bagus} \mid M_I) = 0{,}97$. $P(\text{Cacat} \mid M_{II}) = 0{,}05 \implies P(\text{Bagus} \mid M_{II}) = 0{,}95$.

Opsi A: Sumbangan Mesin I terhadap barang cacat adalah $47{,}37\%$ (kurang dari $60\%$). (SALAH)

Opsi B: $P(M_I \cap \text{Bagus}) = 0{,}60 \times 0{,}97 = 0{,}582$. (BENAR)

Opsi C: Total peluang cacat $P(C) = (0{,}60 \times 0{,}03) + (0{,}40 \times 0{,}05) = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038$. (BENAR)

Opsi D: Peluang barang cacat berasal dari Mesin I $= \frac{0{,}018}{0{,}038} = \frac{9}{19} \approx 47{,}37\%$. Peluang dari Mesin II $= \frac{0{,}020}{0{,}038} = \frac{10}{19} \approx 52{,}63\%$. Karena $47{,}37\% < 52{,}63\%$, peluang dari Mesin I memang lebih kecil. (BENAR)

Opsi E: $P(M_{II} \cap \text{Bagus}) = 0{,}40 \times 0{,}95 = 0{,}380$. (BENAR)

Jadi, pernyataan yang benar adalah B, C, D, E.