Contoh Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA

Contoh Soal

Contoh Soal No. 1

Jika

\sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 + 27} - \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 - 81} = 9

maka nilai dari

\sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 + 27} + \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 - 81} = \dots

💡Pembahasan Soal

Misalkan $\sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 + 27} + \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 - 81} = y$ .

$9y = \left( \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 + 27} - \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 - 81} \right) \left( \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 + 27} + \sqrt{x^5 - 3x^4 - 7x^2 - 81} \right)$

⇒ 9𝑦 = $(𝑥^5 − 3𝑥^4 − 7𝑥^2 + 27) − (𝑥^5 − 3𝑥^4 − 7𝑥^2 − 81)$
⇒ 9𝑦 = 108 ⇒ 𝑦 = 𝟏𝟐

Contoh Soal No. 2

Jika untuk setiap bilangan real $x$ berlaku $x^3 - 6x^2 + 7x - 5 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d$ , maka nilai dari $c$ adalah ....

−5

−1

💡Pembahasan Soal

x^3 - 6x^2 + 7x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 5x + 3

= x^3 - 3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot 2^2 x - 2^3 - 5x + 3

= (x - 2)^3 - 5(x - 2) - 7

Didapat $a = 1, b = 0, c = -5$ . (A)

Contoh Soal No. 3

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x - 4y - 2 = 0$ adalah ....

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 3$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 5$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$

💡Pembahasan Soal

Jarak pusat $(1,4)$ ke garis $3x - 4y - 2 = 0$ adalah

r = \left| \dfrac{3(1) - 4(4) - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \dfrac{3 - 16 - 2}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \dfrac{-15}{5} \right| = 3.

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ . (A)

Contoh Soal No. 4

Misalkan $f$ fungsi dengan sifat:
(i) $f(1) = 1$ , dan
(ii) $f(2n) = n \cdot f(n)$ , untuk setiap bilangan bulat positif $n$ .
Berapakah nilai dari $f(2^{100})$ ?

$f2^{99}$

$f2^{397}$

$f2^{4950}$

💡Pembahasan Soal

Perhatikan bahwa

\begin{align*} f(2^{100}) &= f(2 \times 2^{99}) = 2^{99} \times f(2^{99}) \\ &= 2^{99} \cdot 2^{98} \times f(2^{98}) = \dots \\ &= 2^{99} \cdot 2^{98} \cdot \dots \cdot 2^1 \cdot f(2^0) \\ &= 2^{99} \cdot 2^{98} \cdot \dots \cdot 2^1 \cdot f(1) \\ &= 2^{99 + 98 + \dots + 2 + 1} \cdot 1 \\ &= 2^{\frac{99(100)}{2}} \\ &= 2^{4950}. \end{align*}

Contoh Soal No. 5

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = c$ cm, $BC = a$ cm, $AC = b$ cm. Jika $\dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = 2021$ maka nilai dari $\dfrac{\cot C}{\cot A + \cot B} = \ldots$

1006

1007

1008

1009

1010

💡Pembahasan Soal

Dengan menggunakan aturan sinus dan kosinus;

\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} \quad \text{dan} \quad \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Maka

\begin{align*} \dfrac{\cot C}{\cot A + \cot B} &= \left( \dfrac{\cos C}{\sin C} \right) \left( \dfrac{1}{\dfrac{\cos A \sin B + \cos B \sin A}{\sin A \sin B}} \right) \\ &= \dfrac{\sin A \sin B \cos C}{\sin(A + B) \sin C} = \left( \dfrac{\sin A \sin B}{\sin^2 C} \right) \cos C \\ &= \left( \dfrac{(ab/c^2) \sin^2 C}{\sin^2 C} \right) \left( \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) \\ &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2c^2} = \dfrac{2021 - 1}{2} = 1010. \end{align*}

Mau lihat pembahasan soal?

Dapatkan pembahasan lengkap untuk setiap soal, langkah penyelesaian, dan tips cepat paham. Gratis — buka pembahasan sekarang.

Scan QR code atau kunjungi link ini untuk lihat pembahasan lengkap:

mimpi.mu/tracks/tka-matematika-tingkat-lanjut-sma

QR Code

Scan untuk lihat pembahasan soal

mimpi.mu/tracks/tka-matematika-tingkat-lanjut-sma